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2025-11-11
矩阵的条件数、矩阵特征值、特征向量的求解方法
矩阵的条件数：矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。条件数越接近1，矩阵性能越好，反之，矩阵的性能越差。
在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：
cond（a,1）：计算a的1—范数下的条件数。
cond（a）或cond（a,2）：计算a的2—范数下的条件数。
cond（a,inf）：计算A的∞–范数下的条件数。
例3：求2~10阶希尔伯特矩阵的条件数。
解答：
>> for n=2:10
c(n)=cond(hilb(n));
end
>> format long
>> c’
ans =
1.0e+13 *
0
0.000000000001928
0.000000000052406
0.000000001551374
0.000000047660725
0.000001495105864
0.000047536735691
0.001525757556663
0.049315340455101
1.602502816811318
矩阵的特征值与特征向量：
矩阵特征值的定义：设A是n阶方阵，如果存在常数λ和n维非零列向量x，使得等式Ax=λx成立，则称x是对应特征值λ的特征向量。
函数调用格式有两种：
E=eig（A）：求矩阵A的全部特征值，构造向量E。
[X,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。
例：
>> A=[1 1 0;1 0 5;1 10 2]
[X,D]=eig(A)
A =
1 1 0
1 0 5
1 10 2
X =
0.0722 0.9751 0.0886
0.5234 -0.0750 -0.6356
0.8490 -0.2089 0.7669
D =
8.2493 0 0
0 0.9231 0
0 0 -6.1723
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