扇形的面积公式（弧长公式）

你要学的条件越少，难度越大，这个问题就越难。不掌握方法很难解出答案。这里有两个解决这个问题的方法，供大家参考。

第一个解:托勒密定理

托勒密定理是托勒密对伊巴谷著作中的相关知识进行改进而得到的。我们先来看看托勒密定理的内容。

托勒密定理:在圆的凸内接四边形中，这个四边形的两条对边的乘积之和恰好等于两条对角线的乘积。

比如下图，四边形ABCD是圆O的凸内接四边形，那么AD BC+AB CD = AC BD。

什么是凸四边形？简单来说，这个四边形就是任一边所在的直线的一边。比如下图的四边形ABCD在有四条边的直线的一边，所以是凸四边形。

知道托勒密定理有什么用？

我们先来看原问题中两个直角三角形组成的四边形。很明显，这个四边形的对角是互补的。根据圆不连通四边形的判定定理，对角互补四边形是圆的内接四边形。从题目中的图也可以看出，这个四边形是凸四边形，所以可以直接用托勒密定理求解。

如上图，为了表示方便，分解用字母标注，用AC连接，扇形半径为R，CD = X。

在直角三角形ABD中，由勾股定理可得BE=5。

根据托勒密定理，我们可以得到:

Ad BC+ab CD = AC BD，即:

3r+4x=5r，解为x=r/2①。

在直角三角形BCD中，由勾股定理可得:BD ^ 2 = BC ^ 2+CD ^ 2，即:

25=r^2+x^2②。联立方程① ②，解为r 2 = 20。所以扇形面积是圆面积的四分之一，即20π/4=5π。

第二种解决方法:形状填充法。

用托勒密定理解决这个问题很快，但是很多人不知道托勒密定理，那么没有托勒密定理怎么解决呢？

如下图，延伸AD和BC与e点之间的延长线，因为BC是扇形的半径，A点在扇形的圆弧上，角度BAD是直角，BE是扇形所在圆的直径。这样就构造了一个大的直角三角形ABE。

设扇形半径为r，则BE=2r，AE = 3+r .在直角三角形ABE中，由勾股定理:

Be 2 = AB 2+AE 2，代入数据:

(2r)2 = 4 ^ 2+(3+r)2，解为:r=2√5。

所以扇形面积是π r 2 ÷ 4 = π× (2 √ 5) 2 ÷ 4 = 5π。

奥赛的这道几何题还是挺难的，但是解题的方法不是唯一的。即使你没有学过托勒密定理，也仍然可以用形状补的方法用勾股定理求解。而求解补码的难点在于如何快速准确地做出辅助线。做了辅助线后，求解难度降低了很多。

这个问题到此为止。