傅里叶变换对（傅里叶为何变换？）

傅立叶变换是很多理工科学生在本科阶段都会接触到的基本概念，但也是容易混淆的概念之一。

因为傅立叶变换的定义非常唬人:

虚张声势是什么意思？

“胡”其实是个多音字，不仅读胡，尼玛也能读夏(不知道是谁点的这个):

胡的意思是“虚张声势，夸大事实”，也就是说，这件事本来很简单，却被故意复杂化了。

这个公式只是虚张声势。

三角级数

我在之前的文章《泰勒为什么要展开》中介绍过“泰勒级数”。“泰勒级数”是“幂级数”的一种，就是把一个函数“拆成一堆”关于x的加减乘除:

为了估计误差，后面的省略号一般写成余项。

现在，如果我们不采用“x ^ n”的“基本元”而采用三角函数cos(nx)形式的“基本元”，那么我们可以试着写成如下形式(注意，此时e ^ x要限定周期，延长周期，因为三角级数只能表示周期函数):

问题来了。什么是系数A1，A2...安？

傅立叶说，我有一个祖传的公式，可以算成系数。

这就是“傅立叶级数”。

具体公式各大教材都有，这里就不讨论了。

傅里叶级数

根据上述原理，我们可以将某些函数展开成“傅立叶级数”。例如，我们可以在一个周期内展开x 2:

x 2的傅里叶级数展开

注意，类似于泰勒展开式，这里是“完全相等”，不是“大约相等”。

三角级数的优点

三角函数sinx(或cosx)的导数仍然是三角函数:

积分仍然是三角函数:

在信号分析中，这个特性会带来很大的优势。

因为微分和积分运算只改变三角信号的“相角”，而不改变其类型和幅度。

这样我们就可以把信号“拆解”成一堆正弦信号，然后就可以只关心每一个正弦波的“相位”变化，计算起来极其方便。

当然，这只是优点之一。更多优点，欢迎大家自学成才。

傅里叶变换

其实刚才说的傅里叶级数分解法有一个前提，就是要求信号是周期性的，或者在一个周期内长度有限，然后我们会把周期延长(复制粘贴到其他周期)，这是三角级数的“元素”本身的周期性造成的。

如果信号是无限大且“非周期性”的，那么我们就需要使用傅立叶变换。

实际上，傅立叶变换是频率极其密集的正弦波的叠加。

为什么听起来这么***的抽象？让我们回到刚才X 2的例子:

x 2的傅里叶级数展开

注意，cos1x和cox2x到coxnx在总和中有“贡献”。

但是，你有没有发现，正弦波如cox1.1x或cox1.11x或cox2.22x等。，不参与求和，对结果“没有贡献”。

当我们想用正弦波来表示非周期函数时，我们必须付出代价:

这些正弦波不仅是无限的，而且频率n将不再是一个离散的整数，而是一个“连续的”实数，我们将称之为ω。

ω是正弦波的频率，本质上是COS(ωt+ω)这种“很多”正弦波中的“ω”。此时，求和变成了积分。

jωt的由来

当我们把它表示成cos(ωt+φ)形式的积分时，运算比较复杂，所以，我们用欧拉公式来换算:

因此，以下指数形式出现在整数中:

以指数形式计算，可以直接在角度刻度上加减相角，非常方便。

在这一点上，有一个令人困惑的，

傅立叶变换。