介绍

线性代数(高等代数)是进入大学后学习代数的起点，也称为数学的三门基础课，包括数学分析和解析几何。需要注意的是，一般来说，理工科的理科是线性代数，数学系学的是高等代数。与线性代数相比，高等代数除了在内容上增加了多项式，还增加了难度和深度。当然，高等数学和数学分析是有区别的，这里就不赘述了。从今天的数学角度来看，线性代数几乎无处不在，其概念和方法已经渗透到与数学相关的方方面面，这也是线性代数如此重要的原因。

线性代数的课程内容基本可以分为矩阵、线性空和线性变换三个部分，每个部分又可以分成几个小部分。热与线性变换无疑是线性代数的核心内容，线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。所以，“矩阵”应该说是线性代数的核心概念。行列式与矩阵密切相关，所以行列式的重要性自然不言而喻。今天就简单分析一下行列式和矩阵的一些表面性质和意义。限于篇幅和知识，我们就不展开太多了。

决定因素

与传统方法相比，线性代数是从解线性多元方程组开始的，因为它很自然地引出了行列式和矩阵的概念。从数学的历史发展来看，虽然行列式和矩阵看起来“很像”，但是对行列式的研究早于矩阵。行列式的概念源于日本人关晓和，近百年后，克雷默正式提出了利用行列式解线性方程组的方法，也就是俗称的克莱姆法则。

行列式最初的定义来源于解n×n线性方程组，即取出n×n个系数进行行列式运算。从完全数学的角度来看，行列式是关于一列的多重反对称线性函数。至于具体怎么定义，行列式的各种性质，这里就不赘述了。

特别是行列式的性质与线性方程组的性质高度相关。我们都知道解线性方程组有一个著名的高斯消元法，就是把前一个方程乘以一个常数，加到后一个方程上，这样后一个方程中的未知数就可以逐渐减少到不能再减少，然后通过求解这个未知数最少的方程就可以逐步解出整个方程。可能存在行列式为0的情况，即至少有两个方程是等价的，等价是指高斯消去后其中一个是另一个的倍数。因此，方程的解不是唯一的，解将由一个或多个参数表示。粗略地说，如果要使解唯一，那么不等式组的个数必须等于未知数的个数，这就是求行列式的值，也正是判断这个结果的标准。

行列式只能定义为n×n形式，因为它最早是用来研究n×n线性方程组的。关于这类线性方程，著名的克莱姆法则指出，如果一个线性方程的行列式不为0，那么它就有唯一解，并且可以用行列式来表示。那么一个很自然的问题就是，如果一个线性方程组的方程组的个数和未知数的个数不一样呢？这就引出了矩阵的概念。但是需要注意的是，矩阵不是行列式的推广，行列式是一种运算，矩阵是一种数学结构，或者说是研究的对象。

矩阵

类似于行列式中的形式，我们把方程的系数拿出来形成一个所谓的系数矩阵，把未知项和常数项拿出来形成一个列向量，然后把系数和常数项重新组合成一个增广矩阵。

实际上，高斯消元法对这类方程同样有效，而且在这个表达式中，我们只需要对增广矩阵进行运算，于是对方程的研究就完全转化为对矩阵的研究，实现了从具体到抽象的过程。就数学而言，大部分时候我们关心的是解的情况而不是详细地找出来，比如解的存在唯一性，或者在不唯一的情况下可以用几个参数来表示。

为了达到这些目的，就要引入矩阵的“秩”这个深刻概念。从一个a行b列的a×b矩阵中任意拿出n行n列(n≤a,b)构成一个方阵(也就是行数和列数相等的矩阵)，如果这个方阵的行列式不为0，就称之为非奇异或可逆的，使得n×n方阵非奇异的最大的n就成为这个矩阵的秩，并且若n等于a和b中较小的一个，就称之为满秩(秩记为R)。实际上，可以看出，矩阵的秩实际上就是不等价方程的个数。接下来就可以证明，线性方程组有解的充分必要条件就是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩(记为r)相等，进一步，解的参数有b－r个，如果b－r