国学经典，永久流传《诗经朗诵全集》
《诗经朗诵全集》带你领略国学经典，永久咏传。...
2023-07-31
(AIP埃米利奥塞格雷视觉档案，兰德收藏)
哥德尔的不完全性定理从算术开始。他证明了如果算术是一致的，那么一定存在一个无法用算术证明的真命题——即算术是不完全的。如果算术不一致，那么就会出现可以证明的伪命题，这样整个数学就崩溃了。
哥德尔的证明非常复杂。然而，凭直觉，这很容易解释。哥德尔给出了一个数学命题，翻译成白话就是“这个命题是不可证明的。”
仔细想想。这个命题很奇怪，它其实是在说它自己——其实是说它不能被证明。我们称之为命题a，现在假设命题a是可证的。那么它就是假的(因为它说它不能被证明)。这意味着伪命题被证明——从而算术不一致。好吧，我们假设它的命题A是不可证明的。这意味着命题A是真的(因为它断言它是不可证明的)，但接下来还有一个不可证明的真命题——算术不完全。因此，算术要么不一致，要么不完整。
很难想象这个命题是如何转化为数学表达式的，但哥德尔做到了——这就是为什么哥德尔的证明如此复杂精彩，我们在这里就不讨论了。
大多数数学家和哲学家坚信希尔伯特问题是可以正解的，这对他们是一个沉重的打击。正如数学作家安德鲁·霍奇基斯所说:“这是研究中一个惊人的转折点，因为希尔伯特认为他的计划将主宰世界。对于那些认为数学完美无瑕的人来说，这是不可接受的...深圳生活网”
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图灵机与不可计算性
哥德尔干净利落地解决了希尔伯特的第一个和第二个问题，然后第三个问题被英国数学家艾伦·图灵干掉了。
图灵，1912-1954年
1935年，图灵23岁，随逻辑学家马克斯·纽曼在剑桥攻读研究生。纽曼向图灵介绍了哥德尔刚刚得到的不完全性定理。在了解哥德尔的结果后，图灵找到了解决希尔伯特第三问题的方法，并确定了问题。同样，他的答案是“不”
图灵是怎么证明的？如前所述，判断问题是，有没有“明确的程序”来判断任何命题是否可以被证明？“明确程序”是什么意思？图灵的第一步是定义这个概念。遵循两个世纪前莱布尼茨的思路，图灵通过构想一个强大的算术机器来解释他的定义，这个机器不仅可以进行算术运算，还可以对符号进行运算，从而证明数学命题。通过思考人类是如何计算的，他构造了一个幻像机，现在叫做图灵机。图灵机后来成为电子计算机的蓝图。
节选自湖南科学技术出版社
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