数学家是把咖啡变成定理的机器。

-阿尔弗雷德·莱利[1]

01 空数学飞人

任何喜欢旅行的人都会羡慕这个人。除了推销员、导游、外交官和空姐姐，他可能是在天空中停留时间最长的人。他没有固定的职业和收入，但他整天住在酒店里吃饭，有些人为此买单。他是一个具有独特头脑的神童，后来成为历史上最多产的数学家，在许多领域做出了开创性的贡献。他就是我认真阅读的传记《我的大脑是开放的》(布鲁斯·谢切特著，上海译文出版社)的主人公匈牙利人保罗·爱多士。

20世纪60年代初，中国与东欧关系密切。爱多士还应邀赴京面见数学家华，而该传记的译者之一当时是华老的助手和合作者，但去上海是为了见朋友。这个细节没有出现在书里或者翻译后记里，但是前辈亲口告诉我的。近30年后，爱多士再次来到中国，不仅见到了已经是中国科学院院士的王元，还参加了在济南召开的一次学术会议。当时正好是泉城的研究生。一个阴沉的秋日下午，我和爱多士在山东大学留学生楼的一个套间里，闭门讨论数学问题。

我记得当时爱多士写给我的是某个数论函数的均值估计问题。我没有做成，而是发展了另一种数论函数的均值估计，是我导师潘成东的弟弟，北京大学教授潘成彪带给我的。这类数论函数均值估计的先驱也是爱多士。换句话说，我改进了他的结果，准确地说，是他与一位名叫阿拉迪的印度数学家合作的结果。不仅很早就在《科学通报》上发表，还提前获得硕士学位，获得山东大学首届研究生论文奖一等奖。尽管如此，我没有成为爱多士学者[1](与爱多士合作发表论文)，这是我一生的遗憾。

新世纪的第一个春天，我从澳大利亚飞往日本九州参加第二届中日数论会议。阿拉迪来了，但爱多士已经死了。阿拉迪现在是美国佛罗里达大学的教授。在那次会议上，除了他的学术报告，他还被邀请向当地大学生发表公开演讲，讲述他的同胞拉曼·努扬和爱多士的故事。

当我打开《我的大脑打开了》的第三页时，我看到了阿拉迪的名字。事实证明，他是许多得到爱多士帮助的年轻数学家之一。1974年，当阿拉迪还是马德拉斯大学的学生时(拉马努扬是这所大学的教授)，他研究了数论的一些问题，提出了自己深刻的见解，这是连他身为马德拉斯数学研究所所长的父亲都无法回答的。后来，在朋友的建议下，阿拉迪给奥尔德斯写信。由于爱多士已经旅行多年，他把这封信寄给了匈牙利科学院。

令人惊讶的是，阿拉迪很快收到了爱多士的回复，告诉他很快将在加尔各答做一次演讲，并询问他是否能在那里见面。不幸的是，阿拉迪必须参加一个重要的考试，所以他不得不恳求他的父亲为他做这件事。当阿拉迪导演介绍他和儿子的作品时，爱多士真诚地说:“我对我父亲不感兴趣，但我对我儿子感兴趣。”

爱多士决定见见这个年轻人。当时，他计划去澳大利亚，所以他不得不重新安排行程，在马德拉斯(现在改名为钦奈)短暂停留，那里离加尔各答有1300多公里。当阿拉迪在马德拉斯机场遇到他理想中的数学大师时，他感到有些不安，但爱多士开始背诵一首关于马德拉斯的歌谣，这使他大为放松，然后他们开始讨论数论问题。被爱多士·阿拉迪的才华所打动，他立即为阿拉迪写了一封推荐信。

不到一个月，阿拉迪就获得了加州大学洛杉矶分校的校长奖学金，从而为未来的数学家铺平了道路。爱多士在马德拉斯演讲的报酬全部捐给了印度数学天才拉马努扬的遗孀。爱多士从未见过拉马努扬和他的妻子，但他被这个印度人在学生时代发明的美丽方程式所感动。正是这种情感导致了他对印度的终身兴趣和对印度数学家的不懈支持。

02犹达·佩斯的童年

1913年3月26日，保罗·爱多士出生在多瑙河畔的布达佩斯。就像爱尔兰作家詹姆斯·乔伊斯的《尤利西斯》中的主人公布鲁姆一样，他的父母都是匈牙利犹太人。尽管以色列奉行的外交政策长期以来没有被全世界人民一致接受，但犹太人在经济、科学、文化和艺术领域的杰出贡献是有目共睹的。仅在匈牙利科学界，就有约翰·冯·诺依曼，他是20世纪数字计算机和博弈论的发明者。氢弹之父爱德华·泰勒；超音速飞机之父西奥多·冯·卡门；乔治·德·赫韦格，同位素跟踪技术的发明者。

在艺术领域，匈牙利也是人才济济。钢琴家奥列格·索蒂(Oleg Sorti)和乔治·塞尔(george szell)，指挥家安塔尔·多拉蒂(antal dorati)和尤恩·奥曼迪(Euen Ormandi)，作曲家贝拉·巴托克(Bela Bartok)和佐坦·科达里(Zotan Kodari)，设计大师莱罗·霍莫利-纳吉(Rairo Homaly-Nagy)，娱乐巨头威廉·福克斯(William Fox)，已经出现，以至于有人戏称犹大为“犹大害虫”

爱多士的父母是帕兹多大学数学系的同学。婚后，父亲在一所中学教书。当时，奥匈二元君主制统治半个世纪后，匈牙利的经济和文化达到了辉煌的顶峰。然而，就在他的母亲入院分娩时，一场可怕的猩红热席卷了布达佩斯。当她和保罗一起从医院回到家时，他的两个姐姐已经去世了，伤心欲绝的父母把所有的爱和精力都倾注在这个灰眼睛的男孩身上。

保罗三个月大的时候，奥匈帝国王储费迪南在萨拉热窝遇刺身亡，引发了第一次世界大战。奥匈帝国对塞尔维亚宣战，随后俄罗斯对奥匈帝国宣战。这场战争意味着匈牙利黄金时代的结束，老爱多士应征入伍。不久，他被俄罗斯军队抓获，并在西伯利亚度过了六年的牢狱生活。

这一幕让我想起19世纪中叶，匈牙利诗人裴多菲也曾被俄军俘虏，7年后死于西伯利亚的肺结核。幸运的是，老爱多士从西伯利亚集中营里活了下来。当他回到布达佩斯时，保罗已经是一个漂亮的男孩，他的犹太家庭教育开始了。数学是课程的核心，但外语同样重要。除了德语，父亲还教他在西伯利亚学的法语和英语，以消除寒冷和饥饿。

然而，像几乎所有的匈牙利人一样，爱多士的英语带有浓重的口音，这一点我记忆犹新。据说所有关于爱多士的纪录片都有他演讲的字幕。作为一名中学教师，爱多士的父亲能教给儿子的自然是关于整数性质的数论知识，尤其是那些叫做原子的质数。爱多士本人和大多数数学天才一样，对质数有着不可抗拒的兴趣，从欧几里德《几何质数》中提到的无穷多个质数，到两个相邻质数之间的间隔，包括孪生质数的猜想。

童年的爱多士

像大多数神童一样，爱多士的生活能力并不强。十一岁时，他终于学会了系鞋带，第一次入学，一下子上了六年级。虽然学校严格的课堂纪律压制了爱多士的独立思想，但他的成绩依然是班里数一数二的，唯一没有拿到A的科目就是绘画。他当时最喜欢的课是历史，他把这个爱好保持了一辈子。促使爱多士将兴趣转向数学的是一本名为《中学数学》的杂志，该杂志提供了一些具有挑战性的话题，并刊登了获奖者的照片。

杂志上的许多问题都是关于数论的。父亲早期教育的效果可见一斑。小艾多斯的照片很快就出版了。这本杂志一直陪伴他读完中学。尽管当时反犹太主义十分猖獗，但“配额控制法”将犹太人的大学入学率限制在总数的6%，爱多士仍然被布达佩斯大学录取，在那里他遇到了许多以前在杂志上见过的模糊面孔，爱多士的数学之舟开始航行。

第一次去英国

1934年9月，21岁的保罗·爱多士登上火车，第一次离开匈牙利。这是他无数次数学之旅中的第一次。几个月前，他刚从父母的母校帕兹多大学拿到博士学位，英国曼彻斯特大学给他提供了100英镑的奖学金。然而，爱多士不能享受这段旅程。相反，他感觉有点累，甚至不知道如何处理火车上的一日三餐等琐事。只有数学技能的交流给他带来了乐趣。途经瑞士时，他第一次敞开心扉，拜访了苏黎世的一位数学家。

青年爱多士

10月1日上午，爱多士将永远记住这一天。他的火车到达了剑桥。然而，没有时间去参观这个世界著名的大学城，他又一次敞开了心扉，去三一学院与两位来见他的数学家同行进行了一次漫长的学术讨论。之后，他们一起吃了午饭，同事们发现爱多士从来没有涂过黄油。

短暂参观剑桥大学后，爱多士坐火车北上，然后向西去曼彻斯特。这座现在以足球闻名的城市，当时只获得过两次意甲冠军和一次足协杯冠军，而这一成就也是在20世纪初取得的。然而，曼彻斯特大学的数学研究中心早已闻名遐迩。由于欧洲大陆日益紧张的局势，吸引了许多外国游客前来讲学或合作研究。

事实上，当时欧洲大陆(英国人称欧洲)的知识分子并不想移民到大西洋彼岸的美国。曼达大学数学系系主任莫德尔教授本人也是美国人。高中毕业后，他设法凑齐了去英国学习的钱，经过努力，他成为了著名的数论家。因为一个以莫德尔命名的猜想的解决，菲尔兹奖最终被授予。事实上，在费马大定理的证明得到充分证实之前，前一部作品一般被认为是上个世纪数论领域最重要的成果。

在曼切斯特逗留期间，爱多士与德国数学家和中国驻莫德尔学生柯昭合作，写了一篇关于组合理论的论文，其中包括著名的爱多士-科尔多-拉多定理。然而，由于当时数学界对组合理论缺乏兴趣，这部作品直到1961年才发表，并立即成为经典文献。柯昭先生是我在浙江的老乡。在他80岁生日的宴会上，我用地道的泰州方言在成都和他交谈。

柯昭在曼彻斯特获得博士学位后回到祖国，先后在四川大学、重庆大学任教。爱多士应他的邀请第一次来到中国。作为仅有的两位数字理论家，他和华当选为中国科学院首批院士。遗憾的是，由于回国后环境等因素的制约，柯昭未能重现当年的辉煌，但他培养了一批优秀的数学人才，开辟了西南数学的新领域。

在英国的四年里，爱多士不满足于呆在一个城市。事实上，他几乎连续一周都不睡在同一张床上。他总是敞开心扉，穿梭于曼彻斯特、剑桥、布里斯托尔、伦敦或其他大学城。那时，年轻的爱多士的作品已经展现了他独特的个性:游戏性、敏捷性和独创性。比如他猜想一个正方形可以分成几个大小不一的正方形，直到四十多年后才有人证明这些小正方形的最小个数是21个。

第二次世界大战期间，一位名叫泰特的英国青年，因为在研究爱多士猜想方面的成就，被推荐参加一项秘密军事计划。结果，他们找到了合适的人。泰特成功破译了德国潜艇舰长发送的密码，使盟军成功拦截并摧毁了敌人的物资补给船，从而大大缩短了战争的进程。这可能是对英国邀请访问爱多士的最好回报。

普林斯顿的另一边

1929年10月24日黑色星期一，纽约股市暴跌，引发长达十年的全球经济恐慌，直到二战爆发，才在战争的刺激下复苏。就在“黑色星期一”前一个多月，美国第四大零售连锁店班伯格的老板凭借敏锐的洞察力将公司转让出去。从那以后，也许是出于愧疚，班伯格的弟弟妹妹拜访了著名的教育家flexner博士，flex ner博士建议他们放弃向医学院捐款的冲动。

与柏拉图学院一样，弗莱克斯纳设想了一个知识分子的伊甸园，“一个科学家和学者以世界及其现象为实验对象的避风港，他们不会被强行卷入最近的漩涡”。所谓“最近的漩涡”，指的是纳粹德国和法西斯主义造成的灾难，当时正在全球范围内失控蔓延。

这就是普林斯顿高等研究院的由来。爱因斯坦是受邀的首席教授。所有终身教授都免除了作为人的各种烦恼，包括支付水电账单、填写资金申请等各种表格，甚至发表论文或向上级汇报工作等家务。换句话说，一旦你进入研究生院，你就获得了完全的信任，可以根据自己的兴趣做任何研究。

爱多士给朋友们发了一封信。

事实上，相当一部分时间，数学家和理论物理学家在修剪整齐的草坪上散步，在公共客厅喝咖啡聊天，或者无休止地下棋。然而，他们做出了惊人的贡献，往往是他们一生中最好的作品。比如英国数学家安德鲁·怀尔斯7年没有发表论文，最终完成了费马大定理的证明。这些现象表明，弗莱克斯纳博士对人类文明的贡献不亚于另一位博士——奥地利精神分析学家弗洛伊德。

1938年夏天，爱多士从英国回到匈牙利过暑假。9月初，刚刚吞并奥地利的希特勒要求合并捷克斯洛伐克的德语区苏台德地区。爱多士震惊了。就在这时，普林斯顿向他伸出了橄榄枝，邀请他成为访问学者。24岁的爱多士匆匆告别亲友(后来有不少人死于战争)，坐火车，经潘诺尼亚平原、意大利和瑞士南下巴黎，最后抵达伦敦。月底，爱多士带着玛丽女王去了纽约，然后换到了新泽西，在世界巡回赛中迈出了坚实的一步。

晚年，爱多士认为他刚到普林斯顿的那一年是他学术生涯中最成功的一年。比如他证明了任意多个连续整数的乘积不可能是完全平方数，这又一次让人相信了数字结构的有序性。再举一个例子，他和波兰人卡茨得到了爱多士-卡茨定理，该定理说，小于N的整数中包含的不同质因数的数量遵循与硬币被正向抛N次的次数相同的曲线分布。这个结论说明，整数法则表面的背后其实是有困惑的。

然而，爱多士喜欢和擅长的那种数学问题在当时并没有受到重视，因为它们与数学最近的发展趋势无关。在爱多士看来，众所周知的数学语言仍然包含着无限的宝藏，那么为什么不继续开发它呢？此外，那些问题是数学中最美丽的部分。正如他的一位合作者所分析的那样，“爱多士的想象力和技巧是如此深刻，他可以开辟一条永远不会干涸的溪流，而不会走得太远。还有一些人，因为想象力不够深，技能不够精，不得不通过更多的数学来产生想法和新的定理。”不管怎样，年轻的爱多士没有被普林斯顿大学续约，这让他非常气愤。

当伊甸园的大门在爱多士身后关闭时，他不得不开始新的数学之旅。从那以后，他成了一个真正的流浪者。然而，爱多士思想开放，他经常在战后访问普林斯顿。正是在那里，他用初等方法证明了古老的素数定理。值得一提的是，另一位独立证明了这一原理的挪威人塞尔伯格主要因为这一结果获得了菲尔兹奖。那是在1950年，直到三十四年后，爱多士才得到安慰。他和陈省身一起获得了狼奖，这是终身成就的象征。塞尔伯格于2007年夏天去世。前一年，他在接受两位挪威数学家的采访时，对自己和爱多士的工作做了详细的介绍和比较。

05数学家唐璜

有一次，痴迷数学的爱因斯坦助手施特劳斯谈到了自己的担心，“一个人可能会在一些问题上耗尽精力，但仍然找不到关键。”爱因斯坦本人认为他没有成为数学家的原因是这个领域充满了美丽而困难的问题。爱多士毫不犹豫地深入到爱因斯坦害怕的诱惑中，他真的从未陷入无关紧要的泥潭。他们让我想起了17世纪的两个天才，费马和牛顿。前者全心全意致力于纯数论问题。后者发明了微积分、运动三定律和万有引力定律，成为历史上最有影响力的科学家。

尽管如此，史特劳斯相信“在探索真理的旅程中，唐璜的爱多士和加拉哈德的爱因斯坦各有各的用处。”唐璜是艺术家虚构的浪子，而加拉哈德是传奇的骑士。)不幸的是，在我解决了均值估计的初始问题后，一位资深学者按照传统思路告诉我，爱多士的工作都是小问题。这种友好的建议让我没有坚定地遵循自己擅长的方向。直到费马大定理被证明，像王元先生这样的有识之士才意识到，数字理论家应该回到爱多士爱上的最初的数学问题。

爱多士是一个苦行僧。他放弃了尘世的享受和物质的追求，去过一种精疲力竭却不被人理解的生活。就像帕斯卡和牛顿一样，他一生都没有结婚，甚至没有恋爱过，但这并不是因为数学，而可能是因为先天的身体条件。“我受不了性爱的快乐”，哪怕是最轻微的肢体接触也会让他对别人敬而远之。当陌生人和他握手时，他最多只能和对方搓搓柔软的手，即使这样他也会感到不舒服，强迫自己整天洗手。不是没有女人喜欢他，而是关键时刻他会跑掉。

然而，是什么让《青春期》的数学如此醉人，如此憔悴？除了前面提到的游戏性、敏感性和原创性之外，无时无刻不在的数学挑战像鸦片一样刺激着爱多士的神经。他的大脑总是开放的，他有一双警觉的耳朵。素数定理的初等证明和哥尼斯堡第七桥的推广是他通过道听途说和电话抓到的两项工作。

伯特兰·罗素是一位数学家和哲学家，结过四次婚，一生中留下了许多风流韵事(他的暗恋对象包括诗人艾略特的第一任妻子)，意外获得诺贝尔文学奖，部分原因是他优美的写作风格和雅俗共赏的品味。年轻时，他也对数字世界着迷，写诗赞美他。“我曾经渴望读懂人们的心。/我渴望知道星星为什么闪烁。/我试图理解毕达哥拉斯的力量。/有了它，数字不再摇摆。”

罗素出生于一个贵族家庭，他的祖父曾两次担任英国首相。他三岁时父母就去世了。他在祖母的严格管教下长大，接受了清教徒式的训练。他年轻时曾有过自杀的念头。是数学让他摆脱了青春期的孤独和绝望。虽然后来转向哲学研究，但罗素一生都从数学中受益匪浅。他著名的哲学著作的书名是《数学原理》(与怀特海合作)，对逻辑实证主义的观点进行了新的解释，为哲学研究提出了新的目标和问题。

爱多士的当代匈牙利数学家冯·诺依曼也是一个充满活力的人物。他是通才的典范，在数理逻辑、集合论、连续群、遍历论、量子力学、算符论等方面都有突出的成就。同时，他还是现代计算机和博弈论之父，在物理学和经济学领域都有很大的影响力。就连爱多士也不得不承认冯·诺依曼的反应速度和理解力是非凡的。他不仅思维敏捷，而且时尚、风趣、迷人。他喜欢跑车和女人。他喜欢写打油诗和讲黄色故事，他不排斥噪音、食物、酒和金钱。

我在这里引用罗素和冯·诺依曼的例子，只是为了说明数学家的个性因人而异，不一定与数学本身的特点有关。但是，对于像冯·诺依曼这样的数学家来说，他的思想可能来源于经验，和他的一生大致相同。但爱多士却不是这样，至少在我看来，他的数学一直都是直接来源于开放的头脑。

爱多士的传记之一《热爱数字的人》

1996年秋天，爱多士在华沙演讲时突发心脏病去世。神奇的脑袋停止工作后，一个巨大的数学源泉被堵死了。人类可能需要一千年才能再次找到它[2]。

2004年2月，初稿在杭州。

2008年8月，在剑桥定稿。

作者简介

蔡天心

浙江大学数学学院教授、博士生导师、求是特聘学者，近期著作有《小回忆》《二十六城记》《经典数论现代指导》(即出版)、《地铁诗》《高铁诗》主编。

[1]阿尔弗雷德·莱利(Alfred Riley，1921-1970)，匈牙利数学家，擅长数论等领域，被匈牙利科学院数学研究所以他的名字命名。莱利和爱多士合著了32篇论文，在爱多士排名第四。

[2]爱多士曾经有过“数学天书”的想法。每当他发现一个漂亮的证明，他就会从“天书”中赞叹。现在《天书证》已经出版了，《天书数学证》中文版有好几个版本。