国学经典，永久流传《诗经朗诵全集》
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2023-07-31
数学的神秘、美丽和魅力。但是由于阶乘函数是用定积分定义的，所以还是不容易理解。所以，今天，这个话题就专门展开了。
阶乘函数的定义
阶乘函数定义为:
阶乘函数以积分的形式定义，其中被积函数
的自变量是u，这里x不是自变量(x是阶乘函数的自变量)。显然，这个函数没有原函数，否则，根据积分的定义，没有必要用积分来定义阶乘函数。
对数函数和
析因函数剖析
阶乘函数有一个定积分公式，它的被积函数f(u)由两部分组成，即
和
。
前者是x次方的自变量u(先假设x≥0)，是单调递增的；后者是负指数函数，单调递减。
先画一幅图，分别让x=0.6、1、2、3，得到f(u)的曲线，如下图所示:
看上图，我们可以得出以下结论:
1.当x取不同值时，不同的f(u)函数曲线有一个共同的交点，这个交点的坐标为p (1，；
2.f(u)在开始时增加，x越小，它在开始时增加得越快。这说明它最初是f(u)的第一因子。
担任主角；
3.当u=x时，f(u)爬到山顶，得到最大值，此时函数值开始快速下降。此时，x越大，曲线下降越快。这解释了f(u)的第二个因素
开始处于主导地位；
4.从图中可以看出，在u=14附近，由x的差引起的f(u)函数值的差几乎可以忽略不计。因为第二个因素
是可积的，所以可以直观地判断f(u)也是可积的。
阶乘函数的本质是“面积”
因为
所以，从X开始！的值相当于区间[0，+∞]中的曲线
和u坐标轴(f(u)=0)。
上图中，绿线下面的区域是5的阶乘！=120，蓝色曲线下的面积是4的阶乘！=24，橙色县的面积介于两者之间，因此可以表示为4和之间某个数字的阶乘(如图4.5所示！)。
因此，阶乘的本质是面积，这是阶乘的几何意义。
根据阶乘函数的定义，我们得到
所以，数学上定义0！=1!=1合理。
关于实数的阶乘，你还有什么不明白的？
阶乘解析扩展到实数域是很奇妙的，因为人类已经发现了这样一个函数(幂函数和指数函数的乘积)。
函数曲线和横坐标之间的面积和可以精确匹配非负整数字段的阶乘值！！！这个函数的积分就是对数函数，也就是伽玛函数。
稍后我会找时间进一步了解负数阶乘的几何意义。
去年，一滴相思之泪今年刚刚流到脸颊。
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