国学经典，永久流传《诗经朗诵全集》
《诗经朗诵全集》带你领略国学经典，永久咏传。...
2023-07-31
有理数和无理数的本质区别在于有理数相当于两个整数的比值，而无理数相当于一个无限无循环的小数。
1.常见有理数类型
常见的有理数类型如下。
1.整数:所有的整数都是有理数。
2.小数:小数分类中的有限小数和无限循环小数都是有理数。
3.分数:因为所有分数都等价于一个有限小数或一个无限循环小数。即小数转换成小数的结果要么是有限小数，要么是无限循环小数。这两种小数都是有理数，所以所有的分数都是有理数。
【注意】本文中的“分数”是指分子和分母(分母不为0)都是整数的分数。
值得注意的是，在所有的根式公式中，如果根式公式的结果可以转化为上述常见的有理数形式之一，那么这个根式公式所代表的实数也是有理数。例如，由于8的立方根等于2，而-64的立方根等于-4，所以8和-64的立方根都是有理数。
二、常见的无理数类型
常见的无理数类型如下。
1.无限循环小数:如圆周率、自然对数的底e等。
2.根的数目是无穷的:比如2的平方根，5的立方根，7的四次根等等。
【注意】两个有理数(除数不为0)的和、差、积、商仍然是有理数。两个无理数的和、差、积、商可以是有理数，也可以是无理数。
(1)无理数的和、差、积、商是有理数:如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等。
(2)无理数的和差积商是无理数:π+e，π-e，πxe，π/e。
“无理数”的由来:
1.正方形对角线的长度不可测(如果正方形的边长为1，则对角线的长度是根号2，不是有理数)；
2.在一个圆中，圆周与圆的直径之比称为圆周率。Pi“”也是一个不可测的数，不是有理数；
这种不可测性与毕达哥拉斯哲学“万物皆数”(指有理数)大相径庭。
三、《数学前沿》课外补充
实数可分为有理数和无理数。对于任何一个实数，要么有理数，要么无理数，一定是其中之一。有理数和无理数是所有实数的两种分类。
实数范围内的有理数和无理数虽然有无穷多个，但两者看起来都是“一样多”。但从高等数学的“测度论”来看，无理数的测度大于有理数的测度，所以无理数比有理数“更多”。比如根据测度论，在闭区间[0，1]中，有理数的测度为0，而无理数的测度为1。所以在闭区间[0，1]中，无理数的个数比有理数的个数“多得多”。
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