作者:申永正弘

先了解积分的乐趣。

并不是现实世界中存在的所有物质都是学校里学到的规则的形状。相反，那些规则的形状可以说是例外或理想化的情况。因此，对于人类来说，需要测量现实中各种复杂图形的大小。

日本小学家政学课会教授乌冬面、土豆片2等简单菜肴的烹饪方法。如果你掌握了这些基本的烹饪方法，你就可以烹饪更复杂的菜肴。比如乌冬面的烹饪方法可以应用到面包、披萨或者意大利面上，从土豆块中学到的方法可以扩展到土豆沙拉或者炸糕上。

如果把小学里的长方形和圆形知识比作乌冬面和土豆块，那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用菜。得益于积分法，人类可以计算各种图形的面积和体积。利用积分，再奇怪的形状也能努力算出结果，真的是很大的进步。

把思维运用到实践中，用自己的力量去推导面积和体积，这就是积分的乐趣，也是学习积分的真正意义。

所有的图形都用长方形连接。

集成的要点①:

在长方形的基础上思考。

图形有很多种，其中面积计算最简单的是“矩形”。

说到这，大家还记得小学初学者计算面积的场景吗？在图形面积的计算中，三角形、平行四边形、梯形、圆形等。都放在长方形里学习。一个长方形的面积只需要“长x宽”就可以算出来，可以说是最简单最简单的图形了。对了，在数学界，正方形被视为“一种特殊的矩形”。

掌握了矩形面积的计算方法后，就可以应用到三角形面积的计算中了。反过来，如果你不知道如何计算矩形的面积，你就无法计算三角形的面积。

这是因为三角形的面积可以看成是“三角形的一边是边长，边高是矩形另一边面积的一半”。根据图2，三角形的面积正好是相应矩形面积的一半，也就是说“三角形的面积=底x高÷2”。

平行四边形呢？平行四边形可以看作是两个三角形的组合，这两个三角形的底边是平行四边形的边。

梯形呢？梯形可以看作是平行四边形的一半。如图4所示，两个相同的梯形并排组合成一个平行四边形。所以梯形的面积也是在矩形的基础上计算的，就是“(上底下底)×高÷2”。

从三角形到平行四边形，再到梯形，这三个图形虽然看起来没有直接联系，但它们的面积公式都是在矩形面积的基础上推导出来的。

近似法

整合的要点②:

把图形想象成小矩形的组合。

小学算术课上，你做过以下事情吗？如图5，用圆规在方形纸上画一个圆，然后数圆内的正方形个数。之后，画几个大小不一的圆，数这些圆里有多少个正方形。

这个赋值其实和圆的面积公式有关。圆面积的公式是“半径×半径× 3.14”，其中3.14是圆周率的近似值，“试数平方数”是解释圆周率求导的一种方法。

这里，我们再来回顾一下这个方法。

我们先来数数图6中半径为2 cm的圆里有多少个正方形3(正方形的边长为1 mm)。虽然这种方法有些不准确，但可以让小学生更容易理解。

图6中的圆有1189个正方形，就面积而言是11.89 cm2。

圆面积的公式是“半径×半径×π”。在平方实验中，我们的目的是求圆周率，所以可以把这个公式变换得到“圆周率=面积÷(半径×半径)”。在图6的例子中，圆的半径是2，所以将面积除以2的4次方，圆周率是2.972 5。

相比3.14，这个成绩实在是太小了。很遗憾，但是实验是

没错。即便如此，我们还是会明白一件事，那就是“圆周率，也就是π，大致是一个接近3的数”。

如果细分正方形或者放大圆，圆内正方形面积之和会逐渐逼近圆面积公式“半径×半径× 3.14”，也就是说圆周率。

会逐渐逼近3.14。这样，用平方数代替圆的面积，逐步得到待求近似值的方法，就叫做“近似法”。我小学也做过这个实验。几十年后的今天，我仍然清楚地记得那种在尝试数方块得到答案后充满内心的满足感。

对了，可能有人会有以下疑问。

医生的回答是老师们常用的方法，但稍有欺骗性。因为这个回答会留下下面的问题。

“不在乎这些差距”到底是什么意思？其实不管你在乎不在乎，总会有差距不是吗？

这个问题看似无聊，却是高等数学中一个有趣的问题。从结论来看，为了解决上述问题，我们有必要使用“pinching定理”(两边的pinching定理)从圆的内外取近似值来研究图形。即先计算出“圆内的方块数”对应的pi，再用同样的方法计算出“包含圆边界的方块数”(内部的方块数加上包含圆边界的方块数)对应的pi。这样，我们可以得到以下结论:

对应于圆中正方形数量的pi <圆的实际pi <对应于包含圆边界的正方形数量的pi。

如果不断用更小的正方形替换正方形，“圆内正方形个数对应的圆周率”和“包含圆边界的正方形个数对应的圆周率”的值会逐渐逼近圆的实际圆周率，这就是“夹点定理”。

在微积分中，不拘一格的精神同样重要。

图7是类似于由小正方形组成的圆的图形。左边是一个大正方形，右边是一个小正方形。从这两个图形中，我们大概可以理解为“如果把粗略的图形细化，就会接近实际的图形(圆)”。精度非常高的锯齿状图形，实际上很难从视觉上与平滑图形区分开来。

电视和电脑的液晶显示器就是利用这个原理来显示图像的。液晶显示器显示的画面其实是参差不齐的。但是显示器中锯齿的精细度很高，所以我们眼中看到的是一条平滑的线。

我们也可以说，圆实际上是由无数个细方块组成的之字形图案，即圆是之字形图案的“极限”。像这样，“逼近”是数学中极其有用的方法。

如果你坚持完美再现流畅的线条，那就不会有LCD了。得益于不完善的近似方法，划时代的技术诞生了。

总和变成整数。

在计算圆的面积时，小学用的方法是用一个“正方形”来划分圆的内侧空。这样做的原因其实很简单，就是方纸的正方形就是正方形。

求圆的面积，要点是把圆细分。即划分的形状不应局限于正方形。因此，我们可以将圆分成“细长条”来求面积。比如图8，我们试着把圆分成细长条，也就是长方形的组合。

即便如此，既然说的是符号，那就从现在开始尽量用整数符号吧。公式也会出现在这里，但内容与刚才的解释完全一致，请大家轻松读下去。就像业内人士用行业术语说话一样，用数学符号来解释数学，同样的内容在表达上会显得很优雅。

在图9中，我们将圆切割成非常窄的长条。水平方向是x轴。此时，圆的切割方向正好垂直于X轴。

在此基础上，我们选取宽度为δx的一小段，δ是希腊字母，读作“Delta”(δ)，常用作“差”的符号，表示一个很小的数值。

现在，让我们用一个公式来表示这个短长条的面积。

短条的面积= x值对应的短条长度× δ x

如果你问为什么要计算短条的面积，那是因为我们要从这里计算圆的面积。把这些细条的面积加起来，就得到圆的面积。具体来说，就是把所有的短条从左端加到右端。

这里，我们逐渐将短条的宽度减小到不能再减小的程度。这样，短条看起来更像一条“线”，而不是长方形。无数条“线”加起来，结果逐渐逼近“圆的面积”。如果使用整数符号，可以用以下形式书写。

在公式中，垂直拉伸字母S的符号声音与积分相同。Integral原意是“和”，所以integral符号也取自拉丁语单词“和”Summa的第一个字母S。它是由一位名叫莱布尼茨的数学家(也是哲学家)提出的。

这里，我想补充一点点Delta (δ)和d。

和δ d，两者都源于“不同”。两者的区别在于，δ是“近似值”，而英文小写字母D是“精确值”。

“精确值”是什么意思？比如圆周率，3.14是它的近似值，无限循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279是它的“精确值”。近似值在某些情况下肯定是不正确的，而精确值在任何情况下都是正确的。

所以，我们可以这样理解dx:“把原来由短条宽δ x计算出的值作为趋于0的‘精确值’。”

综上所述，Delta (δ)和英文小写字母D分别用于以下几种情况。

delta(δ)-当有宽度时(宽度大于0)。

英文小写字母D-当宽度趋于0时，计算极限值。

另外，虽然微积分中会出现各种公式和符号，但是初学者一开始不懂这些东西也没关系，δ和d也是一样。

简单的微积分:学校里没有教的超级简单的入门技巧。作者:申永正弘

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