立方差公式（中考必备百宝箱）

一 、公式及其变式

1 、(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

2、a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab=((a+b)²+(a-b)²)/2

ab=((a+b)²-(a-b)²)/4=((a+b)²-(a²+b²))/2=((a²+b²)-(a-b)²)/2

3、和的立方公式： (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ 差的立方公式： (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

4、立方和公式： a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²) 变式： a³+b³=(a+b)(a+b)² -3ab

5、立方差公式： a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 变式： a³ -b³=(a-b)(a-b)²+3ab

注意区别： (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ac

6 、a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)==(a+b+c)((a-b)²+(b-c)²+(c-a)²)/2

二、 数学计算中的常用结论

1、1+2+3+. · ·+n=n(n+1)/2

2 、2+4+6+ …+2n=n(n+1)

3 、1+3+5+7+ …+(2n- 1)=n²

4、1²+2²+3²+4²+......+n²=n(n+1)(2n+1)/6

5、1³+2³+3³+4³+......+n³=n²(n+1)²/4

6、1*2+2*3+3*4+4*5+......+n*(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

7、k/(n(n+k))=1/n-1/(n+k)

8、(a+b)/(ab)=1/a-1/b

三、 常见几何基本图形及结论：

1 、∠ADC=∠A+∠B+∠C

2 、BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,则∠BDC=90°+∠A/2

3、BD,CD分别平分，则∠BDC=90°-∠A/2

4、 BD,CD分别平分∠ABC,∠ACE,则∠BDC=∠A/2

注：2、3、4为内心和旁心的性质之一

5、 BE,CE分别平分∠ABD和∠ACD, 则∠E=(∠A+∠D)/2

6、 在Rt△ABC 中， AB=AC,D为斜边BC 的中点，∠EDF=90°

则：①BE=AF,AE=CF

②DE =DF

③S四边形AEDF=SABC/2

7、正方形ABCD 中， ∠EAF=45°,则BE+DF=EF

8、在Rt △ABC 中， AB=AC,∠BAC=90°,∠DAE=45° .则BD²+CE²=DE²

9、 在Rt △ABC 中，∠A=90°,D为斜边BC 的中点，且∠EDF=90°,

则BE²+CF²=EF²

10、 四边形ABCD 中， AC⊥BD,则AB²+CD²=AD²+BC²

(特别地，当四边形ABCD为圆内接四边形时有AB²+CD²=AD²+BC²=4R²)

11、 矩形ABCD及任意 一 点P,都有PA²+PC²=PB²+PD²

图 1

图2

图3

12 、△ABC 中， ∠B=2∠C,AD平分∠BAC,则AB+BD=AC(截长、补短)

13 、△ABC 中， ∠B=2∠C,AD⊥BC,则： AB+BD=CD

14、△DAB,△EAC都是等腰直角三角形，①MN⊥BC,则M为DE的中点.

②M为DE 的中点，则MN⊥BC

15 、△ABC, △CDE为正三角形，则①AD=BE;②CM平分∠BMD

16、 正△ABC 中， PC=3,PA=4,PB=5,则∠APC=150°

17 、Rt △ABC 中， ∠BAC=90°,AB=AC,若PC,PA,PB分别为1,2,3,则∠APC=135°

18、 射 影 定 理 ： ①A D ² = B D . C D ,②A B ² = B D . B C ,③A C ² = C D . B C

等积原理： AB ·AC=BC ·AD

19、 三角形角平分线定理： AD平分∠BAC,则BD：CD=AB：AC

20 、CD⊥AB,BE⊥AC,则△ADE∽△ACB

21、△ABC中，AD平分∠BAC,P是AD上的动点，DP的中垂线交BC延长线于点G,直线GP

交AB,AC于E,F,则： △AEF∽△ACB .

22、 等腰直角三角形中的一种几何构造方式，在Rt △ABC 中， AB=AC,CE⊥BE，

构 造 ： 连 AE , 过 A 作 A E 的 垂 线 交 B E 于 F

四、直线及坐标系知识补充

1、两点间的距离公式： A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=√((x1-x2)²+(y1-y2)²)

2、 中点公式及推论：

A(x1,y1),B(x2,y2)线段AB 中点C(x₀ ,yo),则

x₀=(x1+x2)/2，y₀=(y1+y2)/2

推论1:x2=2x₀- x1 y2=2yo-y1

推 论 2 : 平 行 四 边 形 顶 点 坐 标 计 算 ： A = B + D - C , D = A + C - B

3、y=kx+b(斜截式方程)

①k的几何意义：

②斜率公式： A(x1,y1),B(x2,y2),则

③直线的点斜式方程

经过P0(x0,y0)且斜率为k的直线的方程为：y-yo=k(x-x0)

④直线位置与k的关系：

l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2

⑤点到直线的距离公式

点P(x₀ ,y0)到直线Ax+By+C=0(直线的一般式方程)的距离

⑥倒角公式：

⑦弦长公式：直线y=kx+b与曲线C交于A,B两点，则AB= √(1+k²) ·|x1-x2|

(配合韦达定理使用)

五、三角函数公式补充

1 、sin²α+cos²α=1

2 、sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ，sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ

3 、cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinasinβ

5、辅助角公式： asinα+bcosβ=√(a²+b²)sin(α+β)

六、余弦定理及推论：

a²=b²+c² -2bccosA

b²=a²+c²-2accosB

c²=a²+b²-2abcosC

推论：cosA=(b²+c²-2bc)/a²

七、三角形的面积及推论

推论：BD：CD=(AB*sin∠1)：(AC*sin∠2)

八 、正弦定理

九、圆中的重要定理与结论

1、相交弦定理： CE ·DE=AE ·BE

2、割线定理： PA ·PB=PC ·PD

3、切割线定理： PA²=PB ·PC

4、弦切角定理∠PAC= ∠ABC

5、托勒密定理 AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD

6、三角形内切圆的切线长公式

推论：直角三角形内切圆的半径公式

7、 四点共圆的两种判定方式

①∠A=∠DCE或∠A+∠BCD=180°,则A,B,C,D 四点共圆.

②∠A=∠D(注意：对的边都是BC),则A,B,C,D四点共圆.

8 、△ABC 内接于圆O,I为△ABC 内心，则BD=ID

9 、 O 与 H 分 别 是 △ A B C 的 外 心 和 内 心 ， C D ⊥ B C ,则OD∥AH，OD=AH/2

十、 反比例函数的性质

1、SACB=S梯形ABC1D1= S梯形ABC2D2,

2 、AB∥C1D1,AB∥C2D2，(AB∥C1D1∥C2D2)

3、 直线y=kx+b与双曲线y=m/x及坐标轴顺次交于A,B,C,D,则AB=CD .

十一、二次函数知识补充(y=αx²+bx+c)

1、△ABC为直角三角形时， ac=- 1,AB=√Δ/|a|

2、△ABC为直角三角形时，△=4(b² -4ac=4)

3、△ABC为正三角形时，△=12

4、 当∠ACB=120° 时，Δ=4/3

十二、 定值模型

1 、AB=AC,P是BC上一动点，则AP²+BP · PC=AB²

2 、AB=AC,P是BC上 一动点，则PD⊥AB,PE⊥AC,则PD+PE=CF

3 、AB=AC,P是BC延长线上一动点，则PD⊥AB,PE⊥AC,则PD - PE=CF

4 、P是正△ABC 内任一点，有PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,则PD+PE+PF=AH .

5、如图，矩形ABCD 中P为AD上一动点， PE⊥AC,PF⊥BD,则PE+PF=AH

十三、 三角形的两个重要最值点

1、PA²+PB²+PC²最小时，P为△ABC的重心 . (注：重心坐标是顶点坐标的平均数)

2、 当PA+PB+PC最小时， P为△ABC的 费马点，

费马点的定义、位置：

①当三角形有一个内角不小于120°时，该钝角顶点就是三角形的费马点.

②当三角形每一个内角都小于120°时，费马点是三角形内到三边张角相等的点.

( ∠APB=∠BPC=∠APC=120°)

十四、 常见的最值几何模型

1 、A为圆O上的动点，则PAmin=PA1,PAmax=PA2

2、A,B在直线l外，P在直线l上，求(PA+PB)min ?

①(PA+PB) min = AB

②(PA+PB)min =A'B

3、A,B在直线l外，P在直线l上，求

①|PA-PB|max = AB

②|PA-PB| max = A'B