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正弦定理（你知道三角形的正弦定理比值是多少吗）

提问时间：2022-11-19 18:32:01来源：小樱知识网

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大家应该都知道三角形的正弦定理，即边与对角的正弦成比例。如三角形ABC中，有AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB. 那你又知道这个比值是多少吗？其实这个比值就等于三角形外接圆的直径。你知道这是为什么吗？下面老黄就和大家一起来证明这个定理，甚至由这个定理，还可以推导出另外一个定理。

推导出来的这个定理是：两个三角形的外接圆相等时，它们的正弦定理比值相等。老黄直接证明这个定理，这个过程中就会同时证明上面的定理。把它用数学证明题的形式组织如下：

如图：⊙O同时是△ABC和△DEF的外接圆,MN是直径, 证明：AB/sinC=DE/sinF=MN.

证：不妨设∠B为锐角,【因为角B和角A在同一个三角形中，所以必有一个是锐角，如果角B是钝角，就取角A证明，证明的过程和下面没有本质区别】

在⊙O上取点G, 连结MG, GN，使∠M=∠B，【这就是假设角B是锐角的原因，因为三角形MNG是直角三角形，不存在钝角。而其中角G就是直角。角M的构造自由度还是很高的。】

则GN=AC，【等圆周角对等弦】

在△ABC中, AB/sinC=AC/sinB=GN/sinM，【前面是正弦定理的公式，后面是等量替换的结果】

在Rt△MNG中, GN/sinM=MN/sinG=MN，【其中sinG是90度角的正弦，就等于1】

∴AB/sinC=MN，

同理可证：DE/sinF=MN，

∴ AB/sinC=DE/sinF=MN.

老黄一开始觉得只有两个锐角三角形，才能形成这个定理。因为直角三角形中无法构造一个角等于钝角，它们只能互补，虽然互补的两个角正弦相等，但互补的圆周角所对的弦并不相等，因此构不成等量替换。不过后来老黄发现，只要绕开这个钝角，两个钝角三角形，或者一个锐角三角形和一个钝角三角形，同样适用这个定理的。

如果你爱思考，这里面可能会造成一些思维方面的误解，老黄无法言传，只能靠自己去理解了。

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