垂径定理（垂径定理相关的概念、推理、应用）

初中数学圆的学习中最基础的要数垂径定理。垂径定理的学习，我们主要是探索推进定理及其逆定理，并且能够运用它来解决相关的问题。我们通过探索圆的对称性来发现定理。过程以及对他的深度理解。从抽象的概念当中能够概括出定理的。内容以及推导出其逆定理。其学习的重点是理解和掌握垂径定理及其逆定理，并且能够应用他们来解决有关的问题。

理解垂径定理以及逆定理，我们是通过圆的对称性来出发。对确定的定理的条件以及结论。这个过程当中需要同学们清楚地明白定理的推导过程，那么对于其概念的理解和定理的应用才能达到更深度的了解。

一、垂径定理知识点总结与梳理

1．弦心距：

（1）圆心到弦的距离叫做______。

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。

2.圆的性质：

(1)旋转不变形：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．

(2)轴对称：圆是____________，____________________是它的对称轴．

3.垂径定理及推论：

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且____________________．

(2)平分弦(__________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．

(5)_________夹的弧相等．

二、经典例题解析

1.垂径定理的基本概念

【例1】（2014浙江绍兴中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）

A.AE=OE B.CE=DE C.OE=CE D. ∠AOC=60°

【解析】考查垂径定理的内容，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对应的弧。

2.垂径定理的简单计算

【例2】（2014江苏徐州一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（ ）

A.10 B.8 C.5 D.3

【解析】根据垂径定理，可求CP的长度，根据勾股定理可求半径。

3.垂径定理的几何应用

【例3】（2014河北邯郸一中期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为（ ）

A.12cm B.10cm C.8cm D.6cm

【解析】根据垂径定理，过O作OG⊥CD与G，可求弦心距为6，根据梯形中位线的性质定理可求距离之和为2倍的弦心距，可得距离之和。

4.垂径定理的实际应用

【例4】银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶差距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？

5. 垂径定理与动点问题

【解析】根据已知条件可得△MON是等边三角形，所以MN的长度等于半径；阴影部分为一个钝角三角形，面积为底乘高的积的一半，底为MN，高为x，可求阴影部分面积。自变量x的取值范围是从O到等边三角形的高加半径的长度，即可求出x的取值范围；S可求，令y=S可求出临界范围，之后即可判断大小。

写在最后：通过以上对垂径定理及其逆定理的理解以及五大考点的明确，其中包括了各个考点的例题解析，并且唐老师还给大家配备了相关的习题练习。掌握了这五大考点，那么同学们对垂径定理及其逆定理的理解和运用，已经是可以达到非常熟练的地步，而且作为后续圆其他部分的学习也打下了坚实的基础。