国学经典，永久流传《诗经朗诵全集》
《诗经朗诵全集》带你领略国学经典，永久咏传。...
2023-07-31
Q：
解微分方程为什么会出现个e？
比如一解线性的情况 今天突然想起 是不是因为x加1分之一的极限是e 但为什么是e呢。好突兀啊
A：
你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...
想象你生活在那个微积分初创的年代，你还不知道什么通解公式之类的玩意儿,自然常数 e 还未曾知晓...
你是一个站在时代前沿的数学家，你想知道微分方程：
的解.
你觉得可以有一个性质良好的函数作为解，比如在
上解析...
于是你可以在原点将这个函数展开：
因为
上解析嘛，所以
上光滑，求导得：
然后代入得：
要使得等式恒成立，所有项数都应该是 0
上面一个递推式直接迭代可以解得：
也就是说解可以写成：
的形式...
后来发现每次都要写这么一坨级数太烦了，经过研究发现定义
能减少很多麻烦.
然后进一步定义欧拉数
这个函数性质很好，可以把加法变乘法：
>>级数绝对收敛时算符可以交换
人们知道有这种性质的可以叫指数函数，于是，最后定义自然指数函数为
所以不是为什么出现了个 e，出现的是
至于
为什么会出现，楼上说的很明白了.
因此指数函数是求导算子的特征函数------算子作用于函数后的不变量，
求导仍是本身.
这个和线性代数里矩阵与特征值是相似的...
特征值是矩阵变换后的基，特征函数也是算子变换后的基...
至于基为什么这样...唉...捉鸡啊...这可以另开一个问题了...
再举一个例子，把傅里叶变换看成一个算子，其特征函数(之一)为
所以傅里叶变换里这个东西经常出现...
没有也正常，因为傅里叶变换的特征函数可以长得很不一样，比如
，
这俩也是.
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