0的0次方（0真的代表什么都没有么）

说起0这个数字，大家的第一反应都是它代表什么都没有，但是其实0在数学中有极其重要的地位。本文结合了几个生动的小例子，诠释了0在数学表达中的“占位”思想，并在最后站在程序员的角度，结合0的“占位”思想，给出了一段降低队列锁粒度的代码。

1. 计数

1.1 计数的历史

古埃及人:使用5进制和10进制混合的计数法。5和10为一个单元，用记号标识，比如用一道横线代表1，一道竖线代表10等，但是古埃及人没数位的概念，在表示1万时很容易，比如画一个青蛙，但是表示9999时，非常复杂。古埃及人使用一种草纸来计数。

古巴比伦人:在粘土板上使用棱形记号来表示数。他们使用1和10两种棱形记号表示1~59，并将记号所在的位置来表示数位。现在通用的1小时=60分钟的时间换算就是源于古巴比伦的60进制计数法。

NOTE：由于粘土板很难书写很多符号，因此古巴比伦人才需要尽可能少的记号来表示数，也正是这一硬件限制才促成了按位计数法的产生。

罗马人:使用现在也能常见到的罗马数字来计数，类似I、V、XI等，5进制和10进制混合的计数法。

玛雅人:数数从0开始，使用20进制计数法。

印度人:引进古巴比伦的按位计数法的同时，认识到0也是数字，采用的是10进制。现在使用的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9被成为阿拉伯数字，可能是因为将印度数字引入欧洲的是阿拉伯人吧。

1.2 计数的意义

为什么人类要发明计数法呢？

罗马数字中，将1、2、3写为I、II、III，4写作IIII或IV，5写作V，为什么不将5也记为IIII呢？显而易见，在罗马数字这种表示法下，数越大越难处理，比如，IIIIIII和IIIIII哪个更大不能马上得知，同时在表示一个较大的数时非常费劲。

从历史上计数的方式可以看出，为了高效地解决较大数的表示，古人想出了两种方法——10进制计数和按位计数。

而如今，人类发展到可以分析基因序列、探索宇宙的阶段了，处理的数据呈爆炸性的增长，按位计数法已经力不从心了，比如，100000000和1000000000哪个更大也不能直观的看出了，因此，衍生出了新的计数法——指数计数法。刚才的2个数，如果写为10^8和10^9就能一眼看出大小了。

1.3 指数法则

我相信很多人在看到10^2时，是认为10^2是2个10相乘，那么10的0次方是什么？

如果10的0次方是0个10相乘的话，那么10^0应该等于0，而不是1，问题出在哪里呢？

我们对于指数k^n的定义是k个n相乘，那么如果k=0或者k=-1怎么理解呢？-1个10相乘？很明显，我们对于指数的理解是比较局限的，那么如何理解指数呢？

我们把指数的计算放到一起来寻找规律：

103=1000

102=100

101=10

100=?

每当右上角的数字减1时，值就变位原来的10分之1，那么对于指数的定义呼之欲出：

N^1 = N

指数每增加1，数字就变为原来的N倍

指数每减少1，数字就变为原来的N分之一

那么10^-1也很好解释和理解了。

2. 0的作用

2.1 占位

10进制表示的数1024中的0表示百位上“没有”了，但这个0却不能忽略，一旦忽略了，就变成了124，变成了另外一个数了。

2.2 标准、简化

在指数计数法中，使用0以后，能够将按位计数法中的各个数位所对应的大小统一表示成10n。否则需要单独处理”1”这个数位，也就是个位。0在这里标准化了对于位数的表达。正因为有了这个标准，按位计数法的各个数位也能统一写为ak∗10k。

3. 程序员中的0

3.1 需求中的0

需求：有一种胶囊，3天服用后停用1次，要求比较方便的服药

方案：设计一个“没有药效”的胶囊，放在事先准备好的有标号或者日期的盒子中，在停用的部分放上“没有药效”的胶囊

NOTE:这里正好借用了0占位的作用，便于统一处理

3.2 设计中的0

队列：队列是一种先入先出的数据结构，这个是广为人知的，为了引入下面的情况，先给出队列的伪代码。

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structnode_t {

TYPE value;

node_t *next;

}

structqueue_t {

node_t *head;

node_t *tail;

}

initialize(queue_t *queue) {

queue->head = ; //初始化头节点为空

queue->tail = ; //初始化尾节点为空

}

enqueue(queue_t *queue, TYPE value) {

node_t *node = newnode_t;

node->value = value;

node->next = ;

if(queue->tail != ) { //尾节点不为空，则将新节点增加到尾部

queue->tail->next = node;

}

if(queue->head == ) { //头节点为空，则将头指针指向这个节点

queue->head = node;

}

queue->tail = node

}

dequeue(queue_t * queue, TYPE *value) {

node_t *node = queue->head;

if(node == ) { //队列为空

returnfalse;

}

*value = node->value;

new_head_node = node->next;

if(new_head_node == ) { //队列中的最后一个元素出队列时，更新tail指针

queue->tail = ;

}

queue->head = new_head_node;

FREE(node);

returntrue;

}

多线程下的有锁队列：在多线程环境下，enqueue和dequeue都会对head和tail指针进行操作，为了保证线程安全，普通的做法加入一个队列锁，伪代码如下。

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structnode_t {

TYPE value;

node_t *next;

}

structqueue_t {

node_t *head;

node_t *tail;

pthread_mutex_t q_lock;

}

initialize(queue_t *queue) {

queue->head = ; //初始化头节点为空

queue->tail = ; //初始化尾节点为空

queue->q_lock = FREE; //锁初始化为free

}

enqueue(queue_t *queue, TYPE value) {

node_t *node = newnode_t;

node->value = value;

node->next = ;

lock(&queue->q_lock); //锁住队列

if(queue->tail != ) { //尾节点不为空，则将新节点增加到尾部

queue->tail->next = node;

}

if(queue->head == ) { //头节点为空，则将头指针指向这个节点

queue->head = node;

}

queue->tail = node;

unlock(&queue->q_lock); //释放锁

}

dequeue(queue_t * queue, TYPE *value) {

lock(&queue->q_lock); //锁住队列

node_t *node = queue->head;

if(node == ) { //队列为空

returnfalse;

}

*value = node->value;

new_head_node = node->next;

if(new_head_node == ) { //队列中的最后一个元素出队列时，更新tail指针

queue->tail = ;

}

queue->head = new_head_node;

unlock(&queue->q_lock); //解锁

free(node);

returntrue;

}

上面的做法，每次enqueue和dequeue操作都会锁住整个队列，当使用的线程多的时候，就存在锁的竞争造成的性能瓶颈。那么，有没有办法来降低锁的粒度呢？

在上面的伪代码中：

enqueue往队列的尾部插入节点，大部分的时候只修改tail指针

dequeue从队列头部删除节点，大部分的时候只修改head指针

因此，大部分的时候enqueue或者dequeue的时候没必要锁住整个队列。所以，拆锁的方向很明确了——头部锁&尾部锁。

考虑比较特殊的情况：

当队列为空，enqueue用到了head指针，head需要指向新的节点

当队列只剩一个元素的时候，dequeue用到了tail指针，tail需要指向

在这种情况下，如果使用头部和尾部锁，两个锁是分开申请的，因此显而易见，很容易造成死锁。有没有什么优雅的方法解决这个问题呢？

在队列从空到有和从有到空的两种特殊情况下，是需要一些特殊的处理。如果队列一直不为空，那么

enqueue的时候，就不需要通知head指针指向新的头部

dequeue的时候，就不需要通知tail指针已经没有节点了

很显然，引入一个没有实际意义的”空节点“，那么队列就不会为空，上述的问题也就不复存在了，伪代码如下：

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structnode_t {

TYPE value;

node_t *next;

}

structqueue_t {

node_t *head;

node_t *tail;

pthread_mutex_t q_head_lock;

pthread_mutex_t q_tail_lock;

}

initialize(queue_t *queue) {

node_t *node = newnode_t;

node->next = ;

queue->head = node; //初始化头节点为空

queue->tail = node; //初始化尾节点为空

queue->q_head_lock = FREE; //头部锁初始化为free

queue->q_tail_lock = FREE; //尾部锁初始化伪free

}

enqueue(queue_t *queue, TYPE value) {

node_t *node = newnode_t;

node->value = value;

node->next = ;

lock(&queue->q_tail_lock); //锁住尾节点

node_t *tail = queue->tail;

tail->next = node; //尾节点不为空，则将新节点增加到尾部

tail = node;

unlock(&queue->q_tail_lock); //释放锁

}

dequeue(queue_t * queue, TYPE *value) {

lock(&queue->q_head_lock); //锁住头节点

node_t *node = queue->head;

new_head_node = node->next;

if(new_head_node == ) { //此时队列为空，头节点已经指向了空节点

unlock(&queue->q_head_lock);

returnfalse;

}

*value = node->value;

queue->head = new_head_node;

unlock(&queue->q_lock); //解锁

free(node);

returntrue;

}