胡克定律（做CAE经常用到的泊松比是什么）

作为CAE工程师，你有没有思考过做线性静力学分析时，为什么只需要杨氏模量和泊松比两个材料参数？

原因很简单，要表征材料在承受小的拉伸或压缩载荷下的变形，只需要知道材料在拉压方向和垂直于拉压方向的变形规律，即可描述整个模型的完整变形状态；拉压方向变形规律用杨氏模量描述，垂直于拉压方向的变形规律可用泊松比描述。

1、泊松比是什么？

法国力学家西莫恩·德尼·泊松于1829年发表《弹性体平衡和运动研究报告》，提出泊松比概念。

杆件受拉伸或压缩载荷，应力不超过比例极限时，横向应变ε'与轴向应变ε 之比的绝对值是一个常数，可表示为 μ=|ε'/ε|；当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短时横向增大，所以ε'和ε的正负号总是相反的，因此ε'=-με。

轴向压缩时横向增大

轴向拉伸时横向缩小

由泊松比定义可知，其描述的是垂直于拉压方向的变形规律。对于各向同性材料，只需要一组杨氏模量和泊松比即可完整描述材料变形；对于正交各向异性材料，需要三个方向分别定义一组杨氏模量和泊松比才能完整描述材料变形。

2、泊松比取值范围

下表是常见材料的泊松比，包括橡胶、金属、泥、玻璃等材料，可以看到泊松比最大的是橡胶0.4999，最小的是软木塞0。

常见材料泊松比

那么从理论上来说，泊松比的最大最小值分别是多少呢？答案如本文标题，泊松比理论上取值范围为-1~0.5。

下面开始证明。

2.1 泊松比最大值为0.5

有经验的工程师知道，橡胶是完全不可压缩的材料，其泊松比为0.5。为了计算结果的收敛性，仿真分析中一般将橡胶的泊松比调下整为0.495，表示近似完全不可压缩。

为什么泊松比最大值只能是0.5，泊松比取0.5又为什么表示完全不可压缩呢？

材料力学中的体积胡克定律可以解释这一切。

体积胡克定律表示单位体积的体积改变量，计算公式如下：

θ=(V1-V)/V=3(1-2μ)/E*(σ1+σ2+σ3)/3=σm/K

其中

V1表示变形后体积，

V表示变形前体积，

θ表示单位体积的体积改变量，又称体应变；

K=E/3(1-2μ)为体积弹性模量，

σm=(σ1+2+σ3)/3是三个主应力的平均值。

下面是体积胡克定律推导过程。

取一三维微元，变形前长宽高分别为 dxdydz

，则变形前体积 V=dxdydz；

变形后三个棱边长度分别为：

变形后的体积

，略去高阶小量有

。

由体积胡克定律计算体应变：

(1)

由广义胡克定律，在考虑泊松效应时，xyz三个方向都受力的情况下，

ε1，ε2，ε3计算公式为

(2)

(3)

(4)

将式(2)(3)(4)代入式(1)中有

K=E/3(1-2μ)为体积弹性模量，

σm=(σ1+2+σ3)/3是三个主应力的平均值。

若 μ=0.5，则体积弹性模量K无限大，体应变 θ=0，即完全不可压缩，这就解释了当泊松比取0.5时，表示材料完全不可压缩；体积弹性弹性模量不可能取负值，因此泊松比最大值为0.5。

2.2 泊松比最小值为-1

由杨氏模量、剪切模量和泊松比三者关系 G=E/2(1+μ)

，又有杨氏模量和剪切模量都取正值，因此泊松比最小值为-1。

3、负泊松比材料

泊松比小于0表示杆受拉力变长时，其截面尺寸也在变大，体积增加；材料受压力时，其截面尺寸变小，体积也变小。

负泊松比材料由威斯康星大学的Roderic Lakes教授于1987年在Science上发表的论文Foam structures with a negative Poisson's ratio", Science, 235 1038-1040 (1987).中首先提出，负泊松比材料中存在特殊的铰链分子键，横向铰链必须张开才能实现长度方向的拉伸。