国学经典，永久流传《诗经朗诵全集》
《诗经朗诵全集》带你领略国学经典，永久咏传。...
2023-07-31
【中考真题】
(2020安徽)如图1所示，已知四边形ABCD为矩形，点E在BA的延长线上，AE = AD。EC与BD相交于g点，与AD相交于F点，AF = AB。
(1)验证:BD⊥EC；
(2)若AB = 1，求AE的长度；
(3)如图2所示，连接AG，验证:如﹣ DG = √ 2ag。
【解析】本题最后一题需要证明EG﹣DG=√2AG.结论包含线段的和差相等关系，容易与取长补短的方法联想在一起。
三个辅助线技能——优势互补。
既然√2又出现了，就考虑构造一个等腰直角三角形。
取线段EG上的一点P，使EP = DG，证明△AEP≔△ADG(SAS)，得到AP = Ag，∠ EAP = ∠ DAG，证明△ AP=AG是等腰直角三角形，得出结论。
当然，如果将△AFG顺时针旋转90°也可以得到结论。
【答案】解法:(1)∵四边形ABCD为矩形，E点在BA的延长线上，
∴∠EAF=∠DAB=90，
AE = AD，AF = AB，
∴△AEF≌△ADB(SAS)，
∴∠AEF=∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90，
即∠ egb = 90，
因此BD⊥EC，
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF=∠DCF,∠EAF=∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴AE/DC=AF/DF，
AE DF = AF DC，
设AE = AD = A (A > 0)，则A (A ﹣ 1) = 1，简化为A2 ﹣ A ﹣ 1 = 0
得到a=(1+√5)/2或(1-√5)/2(截断)，
∴AE=(1+√5)/2.
(3)如图，取线段EG上的一点P，使EP = DG，
在△AEP和△ADG，AE = AD，∠ AEP = ∠ ADG，EP = DG，
∴△AEP≌△ADG(SAS)，
∴AP=AG,∠EAP=∠DAG，
∴∠pag=∠pad+∠dag=∠pad+∠eap=∠dae=90，
∴△PAG是一个等腰直角三角形，
∴EG﹣DG=EG﹣EP=PG=√2AG.
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