孩子聪明，好好学习！

但是我数学不好？

家长急了！孩子烦了！

我们该怎么办？

数学的有趣之处在哪里，数学的美在哪里？这里精选了10道咸宜老少咸宜的算术题，带领你以定理、有趣的问题甚至未解之谜等各种形式窥探数学世界的一角。很多问题背后都有深厚的数学知识，触及数学的各个领域。希望从小数学不及格的朋友能喜欢上数学这门有趣的学科。

数字黑洞6174

选择任意一个四位数(数字不能都一样)，将所有数字由大到小排列，然后将所有数字由小到大排列，将前者减去后者，得到一个新的数字。对新得到的数重复上述操作，7步之内必然得到6174。

例如，选择四位数6767:

7766 - 6677 = 10899810 - 0189 = 96219621 - 1269 = 83528532 - 2358 = 61747641 - 1467 = 6174……

674这个“黑洞”被称为Kaprekar常数。对于三位数，还有一个数字黑洞——495。

3x+1问题

从任意正整数开始，重复以下操作:如果这个数是偶数，则除以2；如果这个数是奇数，将其展开到三倍，然后加1。你会发现序列最终会变成4，2，1，4，2，1，…的循环。

例如，选择的数字是67，可以根据上述规则依次获得:

67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17,52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...

数学家尝试了很多数字，但没有一个数字能逃脱“421陷阱”。然而，对于所有的数字，数列最终会变成4，2，1的循环是真的吗？

这个问题可以说是一个“坑”——乍一看，问题很简单，有很多突破，于是数学家们纷纷跳入其中；众所周知，进去容易出来难。很多数学家到死都没有解决这个问题。无数数学家陷入了陷阱，这从3x+1问题的各种别名就可以看出来:3x+1问题又叫Collatz猜想，Syracuse问题，Kakutani问题，哈塞算法，Ulam问题等等。后来因为命名争议太大，我们干脆不让任何人介入，就称之为3x+1问题。

直到现在，数学家还没有证明这个定律对所有的数都成立。

特殊两位数乘法的快速计算

如果两个两位数的十位数相同，个位数加起来是10，那么你马上就能说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写成AB和AC，那么它们乘积的前两位是A和A+1的乘积，后两位是B和c的乘积。

比如47和43有相同的十位数，个位数之和是10，那么它们乘积的前两位是4×(4+1)=20，后两位是7×3=21。即47×43=2021。

同理，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，以此类推。

这种快速计算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))= 100 x(x+1)+y(10-y)对任何x和y都成立。

魔方中的“方”

一个“三阶魔方”是指在一个3×3的正方形中填入数字1到9，使每行、每列、两条对角线三个数之和完全相同。下图是一个三阶魔方，每条直线上三个数之和等于15。

大家可能听说过幻方，但不知道幻方的一些奇妙性质。比如满足任意三阶幻方，每行形成的三位数平方和等于每行逆序形成的三位数平方和。对于上图中的三阶幻方，有

816 2 + 357 2 + 492 2 = 618 2 + 753 2 + 294 2

利用线性代数，我们可以证明这个结论。

自然魔方

从1/19到18/19，这18个分数的小数循环段的长度是18。将这18个圆形节点排列成一个18×18的数字阵列，正好构成一个魔方——每一行、每一列、每两条对角线上的数字之和为81(注意:严格来说不是魔方，因为正方形阵列中有相同的数字)。

96算法

一个数读对读错都是一样的，所以我们称之为“回文”。选择任意一个数，不断将反写得到的数相加，直到得到一个回文。例如，如果选择的数字是67，您可以分两步得到一个回文数字484:

67 + 76 = 143143 + 341 = 484

把69变成回文需要四个步骤:

69 + 96 = 165165 + 561 = 726726 + 627 = 13531353 + 3531 = 4884

89的“回文数路”特别长，第一个回文数8813200023188要到第24步才能得到。

你可能会想，不断“加一正一负”，最后总能得到一个回文，这当然不足为奇。事实也确实如此——对于几乎所有的数字，按照规律，回文迟早会出现。然而，196是一个明显的例外。数学家用计算机计算了3亿多位数，没有一个产生过回文。从196开始，可以加回文吗？196有什么特别之处？这仍然是一个谜。

Farey序列

选择一个正整数n，找出所有分母不大于n的最简单分数，按从小到大排序。这个分数序列称为Farey序列。例如，下面显示了n = 7时的Farey序列。

定理:在Farey数列中，对于任意两个相邻的分数，先计算前者的分母乘以后者的分子，再计算前者的分子乘以后者的分母，那么两个乘积之差一定正好是1！

这个定理从数论到图论都有各种证明。甚至还有一种方法，巧妙地利用Pick定理来证明，把它变成一个不证自明的几何问题！

的唯一解

经典谜题:用1到9组成一个九位数，使这个数的第一位能被1整除，前两位能被2整除，前三位能被3整除，以此类推，直到整个九位数能被9整除。

是的，真的有这么一个猛号:381654729。其中3可被1整除，38可被2整除，381可被3整除，直到整数可被9整除。这个数可以通过整除的性质一步步推导出来，也可以通过计算机编程求出。

另一个有趣的事实是，在所有362，880个由1到9组成的不同九位数中，381654729是唯一符合要求的！

数字在变，数字不变。

23456789的双精度是246913578，它只是由1到9组成的另一个数。

46913578的双精度是493827156，它只是由1到9组成的另一个数。

再次加倍493827156，987654312，还是正好由数字1到9组成。

如果你再把987654312加倍，你会得到一个10位数字1975308624，仍然不包含重复的数字，由0到9的10个数字组成。

再加倍1975308624，这个数就会变成3950617248，仍然由0到9组成。

然而，这一规则不会永远存在。如果继续翻倍3950617248，会得到7901234496。第一次，有例外。

三个神奇的分数

1/49等于0.0204081632 …换算成十进制后。小数点后断开两位。前五位依次是2、4、8、16、32，每一位恰好是前一位的两倍。

00/9899等于0.01010203050813213455 …两个数断开后，每个数正好是前两个数的和(即斐波那契数列)。

另一方面，100/9801等于0.00000000005

组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的成因。