国学经典，永久流传《诗经朗诵全集》
《诗经朗诵全集》带你领略国学经典，永久咏传。...
2023-07-31
今天的文章讲的是高等数学中的极限。我们跳过极限的定义和极限计算的一些常用部分。我想大家对一些常用的函数和数列的极限应该是非常熟悉的。
对于大多数简单的函数或序列，我们可以直观地看到它们的极限。比如1/n，当n趋于无穷大时，1/n的极限为0。比如当n趋于无穷大时，n的平方的极限也是无穷大，等等。
但是对于一些相对复杂的函数，我们可能一时半会很难直观的看到极限，所以需要更方便的方法来计算极限。今天的文章介绍的就是这样的方法——夹点法和替换法。
捏法其实在数学领域是很常用的，在中学竞赛中也经常出现。夹紧方法的原理很简单:
对于某个函数f(x)，我们知道它的表达式，但很难确定它的取值范围。我们可以先找到值域相对容易确定的另外两个函数g(x)和h(x)，然后证明:
f(x)的值域被h(x)和g(x)的值域所钳制。
说白了就是直接解决不方便的功能。我们用其他容易计算的函数代替它们来间接求解，类似于“曲线救国”。
了解了捏合法的概念之后，我们再来看看它在数列极限中的应用。
假设此刻有一个序列{xn}，我们需要确定它的极限，我们找到了另外两个序列{yn}和{zn}。如果他们满足以下两个条件:
然后，序列{xn}的极限存在，并且:
直观来看，上面的公式应该是很直观的，但是我们还是试着从数学的角度来证明一下，顺便复习一下极限的定义。
认证过程如下:
根据极限的定义，对于数列{xn}，任何数列都有n0。
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